Как подделать IP, который мой компьютер посылает серверу, не используя что-то вроде VPN или прокси?

Подделка вашего IP-адреса так, как вы описываете, все равно, что написать неправильный обратный адрес на конверте и ждать ответного письма на ваш реальный адрес. Этого не произойдет, потому что единственная ответная информация, которая у них есть, это неправильный адрес возврата.

Есть много утилит Linux, которые позволяют вам создавать поддельные IP датаграммы, а с помощью iptables вы можете сказать системе Linux, работающей в качестве маршрутизатора, делать всевозможные вещи с трафиком, включая модификацию вашего IP источника на что-то совершенно другое. Вероятно, ваш ISP, если это домашний ISP, будет автоматически фильтровать любой трафик, исходящий от вашего кабельного или DSL модема, где IP источника не совпадает с тем, что ISP дал вам через DHCP, или, по крайней мере, в его публичной подсети. Это может подтолкнуть вашего провайдера отключить вашу службу, думая, что вы заражены вредоносным ПО.

Единственный способ “спрятать” ваш IP - это иметь перед вами другую систему, которая принимает ваш трафик и пересылает его от вашего имени, т.е. через прокси-сервер.

Это (насколько я знаю - я счастлив, что доказал, что ошибаюсь) невозможно - по крайней мере, не в стандартной домашней сети с маршрутизатором, предоставляемым провайдером, и не с теми ограничениями, которые вы наложили (VPN/прокси/маршрутизатор не меняется).

Вы определенно можете подделать IP в вашей домашней подсети, но это не повлияет на SNAT (исходный NAT), который выполняет ваш маршрутизатор - все запросы, исходящие от вашего маршрутизатора, будут выглядеть как запросы из его WAN-интерфейса.

Если вы управляете двумя статическими IP адресами, вы можете установить ваш роутер на SNAT на этот IP (при условии, что он одобрен вашим провайдером). Что-то вроде этого в iptables-speak:

iptables -t nat -I POSTROUTING 1 -p all -s 192.168.x.y -j SNAT --to-source 1.2.3.4